Linear Kalman Filter 筆記

前言

Kalman filter 在非常多需要 estimation 的問題中都會用到，例如自駕車、Video Stabilization（結合 Gyroscope 跟 Camera） 跟許許多多結合多感測器的應用中都會用到。它的第一個應用在 1960 年代，用在美國登月的阿波羅計畫，非常的威猛，今天就從一個挺簡單的學習資源（見延伸閱讀一）來學習，把筆記寫下來。

為何要使用 Kalman Filter？

Kalman filter 主要用在兩種情況：

1. 沒有辦法直接測量到自己想量的變數，只能量到間接的變數
2. 有一種或多種 sensor，但各種 sensor 都有一些誤差

State Observers

這個影片說明了 Kalman filter 第一種的使用情境：沒有辦法直接測量到自己想量的變數，只能量到間接的變數。

場景

這邊一樣用測量火箭推進噴射口的溫度為例，因為我們不能把 sensor 放在噴射口內（會融化），所以無法量測到噴射口內的溫度 T_in，只能測量噴射口外的溫度 T_ext：

假設我們對這個系統有建立一個數學模型，就可以透過輸入的燃料量 - W_fuel，來計算 T_ext 的估計值 - T_ext_hat，同時也假設這個數學模型可以估計出內部的溫度 T_in_hat。

接下來的目標，就是希望可以減少量測值 T_ext 跟估計值 T_ext_hat 的差別，這樣就能減少 T_in_hat 跟實際的內部溫度 T_in 的差別：

Feedback control 概念

想要 minimize T_in-T_in_hat 的概念，其實就已經接到了 feedback control，我們可以用一個簡單的 gain K，讓 T_ext-T_ext_hat 乘上一個 K，表示 T_in-T_in_hat 的誤差，使得 T_in-T_in_hat 的誤差可以縮小。概念上就是，既然我們只量得到 T_ext-T_ext_hat，那就想辦法用 T_ext-T_ext_hat 來當作縮小 T_in-T_in_hat 的本錢。當然這邊有個重要的假設，就是 K * (T_ext-T_ext_hat) 可以 model

如果把 W_fuel generalize 成 u，然後把數學 model 也寫出來（這邊的符號有個地方容易誤解，x_dot 指的是下一個時刻的 x 值，所以 A 描述現在的 x 怎麼傳遞到下一時刻，然後 B 描述 input u 怎麼影響下一時刻的狀態 x_dot），我們就可以推導出數學式：

而只要 A-KC < 0，就能確保 convergence：

數學推導要注意的點

我個人對上面的數學細節並沒有很深入去探討，不過影面下方有個留言引起我的注意，有興趣的讀者可以深入研究：

Oversimplification may lead to incorrect information. First : the eigenvalues of A-KC should have negative real parts , not that A-KC should be < 0, this is only true for the trivial uninteresting special case of a single state system . Second: K is a must in cases where the original system is unstable, i.e. A has eigenvalues of positive real parts, otherwise the error signal will grow without bound in the absence of K as the error dynamics is now governed by A . It’s important to point out that observers are also needed in the design of unstable systems.

Dr.Omar El-Ghezawi, the University of Jordan, Amman, Jordan

累了嗎？聽首歌休息一下吧

Optimal State Estimator

這個影片說明了 Kalman filter 第二種的使用情境：有一種或多種 sensor，但各種 sensor 都有一些誤差。

場景

假設有個比賽，給你一台有 GPS 的自駕車，要求你在 100 種地形上都跑 1 公里：

輸贏的標準是，100 次綜合起來離 1 公里的目標最近，且 variance 最小的人就贏：

結合 estimation 跟 measurement 的直觀概念

我們先假設輸入 u_k 是要求車要達到的速度，輸出 y_k 是車的位置：

因為 GPS 測量的數據會有誤差，所以需要加上一個 noise v_k。另外汽車移動中也可能遇到輪胎打滑、空氣阻力等影響，所以會有另一個 noise w_k。一般來說，兩者都可以假設是 Gaussian noise。

我們同時也考慮我們對汽車的建模，就可以用我們對汽車的建模得到估計值 x_k_hat，所以目標就是要利用不夠精準的估計值、以及有誤差的測量值，來得到汽車位置的 optimal estimate：

接著讓自駕車開始跑，隨著時間的過去，估計值的可能誤差範圍會漸漸增加（也就是越來越肥的藍色 Gaussian distribution），但幸好我們還有紅色的 measurement。當把兩者的 distribution 相乘，就可以得到灰色的 optimal state estimate。

總結

今天介紹了一個很有用的工具 - Linear Kalman Filter，雖然在現實世界中，大部分的系統都是 Non-linear 的，所以會使用更進階版本的 Kalman Filter，但 Linear Kalman Filter 是非常重要的基礎。

附上另一個簡潔的總結：

延伸閱讀

1. Matlab - Understanding Kalman Filters
2. 卡尔曼滤波算法思想理解 Kalman filter 第一篇
3. 卡尔曼算法思想理解 Kalman filter 第二篇
4. Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation
5. How a Kalman filter works, in pictures